Enigma number 1642

Je vous ai déjà parlé de ma passion pour tout ce qui est énigmes et énigmes mathématiques en particulier. Après, il y a les énigmes qui ne peuvent être résolus sans ordinateur (ProjectEuler), mais certaines se résolvent avec du bon sens et une faible logistique. C'est le cas des énigmes Enigma du NewScientist. Pour cette énigme, pas besoin de gros calculateur, notre bon vieux tableur excel suffit (multiplan aurait certainement fait l'affaire, mais je n'en ai pas de version sous la main).
L'énigme est la suivante :

(source ici )
13 April 2011 by Gwyn Owen
Magazine issue 2808. Subscribe and save

Triangular quartet

The first four triangular numbers are 1, 3, 6 and 10, and the nth triangular number is given by the expression n(n+1)/2, so the 20th such number is 20 × 21 ÷ 2 = 210.

ENIGMA is a triangular number in which all the digits are different. ENI - GMA = MM, and each of ENI, GMA and MM is a triangular number.

Find ENIGMA.

En français, cela nous donne : les quatre premiers nombres triangulaires sont 1, 3, 6, 10 (comprendre les nombres qui sont la somme de 1 à 1, 2, 3, 4 respectivement) et le n-ième nombre triangulaire est donné par l'expression n(n+1)/2 (nous laissons au lecteur la preuve de la démonstration - j'ai toujours rêvé de mettre cette remarque que mon professeur de maths de prépa nous mettait régulièrement au milieu de son cours). Ainsi, le 20ème nombre vaut 20 x 21 ÷ 2 = 210.

ENIGMA est un nombre triangulaire dans lequel tous les chiffres sont différents. ENI - GMA = MM et chacun des nombres ENI, GMA, MM sont des nombres triangulaires.

Trouver ENIGMA.

A vos crayons, ma proposition est en dessous...

Tout d'abord, trouvons MM. c'est forcément un multiple de 11, donc 55 ou 66 qui sont les deux nombres triangulaires avec 11 comme facteur (10*11/2 ; 11*12/2).
Ensuite vient l'aide informatique, avec Excel, écrire tous les nombres triangulaires à trois chiffres, et faire une matrice avec ceux qui ont un 5 ou un 6 pour chiffre des dizaines (3 pour le 5, 3 pour le 6). On trouve alors 1 combinaison qui pointe sur 55 : 406-351. On peut aisément vérifier que 406351 est le 901ème nombre triangulaire.

Et vous ? Une autre piste ?

Enigma

Un petit message pour parler d'un nouveau site d'énigme que je viens d'attaquer : Enigma disponible sur le site du NewScientist. Au détour d'une recherche sur la machine Enigma de la Seconde Guerre Mondiale, j'avais mis ce site en signet dans mon Renard Roux en attendant le jour où je voudrai me creuser les méninges dessus. Je viens donc de parcourir les dernières énigmes publiées (la 1622 datant de la semaine dernière, la 1623 devrait être publiée ce soir :D ). Et je vais donc tranquillement attaquer la résolution et vous proposer mes réflexions pour les confronter aux vôtres par la suite.

A la différence de ProjectEuler que je dois présenter dans un prochain post (sûrement à notre retour du soleil), les solutions ont l'air d'être publiées avec deux mois de délai. Cela ne m'empêchera pas de reprendre les énigmes depuis le début et de faire donc des posts réguliers sur ce sujet avec mon mode de réflexion. Autre différence, les réponses les plus rapides qui parviennent par mail ou par courrier peuvent être récompensées pécuniairement ce qui n'est pas le cas sur Euler où le seul mérite est de voir son compteur de problèmes résolus s'incrémenter (voir la pastille en haut à droite de ce blog).

Les premières (qui sont en fait les dernières) énigmes que j'ai parcourues traitent autant de la logique, que des statistiques ou des carrés magiques. Cela demande moins de connaissance en programmation que ProjectEuler et est donc accessible à un plus grand nombre.

Seul bémol peut-être, tout comme ProjectEuler, les énigmes sont posées en Anglais. Mais cela arrête rarement les plus curieux.